Детишки мои, в 9 классе, спросили меня, как составляются таблицы тригонометрических функций. Я, плохо представляя себе, чем там на самом деле пользовался г-н Брадис, в ответ предложил освоить элементарные методы, то есть попробовать вывести формулы для деления углов. Для начала, ясно, мы стали выводить геометрически чудесные формулы для двойного угла ну и пока остановились на этом.
Дома я решил подготовиться как следует и произвел из этих формул формулы для половины угла. Глубоко не задумываясь, пошел вчера в половине второго ночи выводить формулу для трети угла.
Рассуждения у меня были следующие: в таблицах угол шагает на 6', то есть на 0,1◦. Имея только формулу для половины угла я могу вывести синус 3◦ (например как разность 18◦ и 15◦ ), но не могу 1◦, само собой не могу и 5◦, и 7◦. Формула для трети угла мне позволит вычислить 1◦, а значит любой целый градус, а кроме того я смогу добраться, до точности в 10'. Точность в 6' мне в любом случае недоступна, для этого нужно выводить формулу для пятой части, что с моими педагогическими, а не практическими целями бессмысленно.
Естественно, через полчаса, когда явную формулу я сходу не вывел, я вспомнил про неразрешимость трисекции угла с помощью циркуля и линейки, из чего видимо должна следовать и невыполнимость этой задачи. Вспомнил и спать пошел.
Сегодня полез смотреть, что по этому поводу известно людям.
dxdy.ru/topic4371.htmlИ подумал: хорошие у моих детей вопросики! Теперь пойду искать, как Брадис считал. Интересно.
Апд. Ну, в общем, и так понятно, что не без разложения в ряд Тейлора. Общие слова. Я пока не пойму, какой нужно делать шаг между точками, в окрестности которых раскладываешь, чтобы с точностью до четвертого знака было хорошо.
Апд2. А впрочем этого не нужно. Достаточно произвести 30 вычислений с помощью ряда Маклорена (соответственно шагу в 6' от 0 до 3х градусов). Дальше провести меньше 30 вычислений от 3х градусов до 90 с шагом в 3 градуса. Видимо все это с точностью до 5го знака? (С точностью не совсем понятно, но думать лень). Ну а дальше остается складывать по формуле суммы — это еще что-то около 900 вычислений. Итого для одной тригонометрической функции 1000 вычислений.
Последний вопрос про ряд Маклорена: нужно ли заниматься переводом угла в радианы, и если нужно, то почему? Неясно.