19:13 

Задачи на сечение многогранников

Здравствуйте. Есть такое задание:
В треугольной призме `ABCA_1B_1C_1` точка `M in A A_1` `AM:MA_1=1:3`; `N in C C_1`, `CN:NC_1=5:2` ; `K in BC`, `BK:BC=1:3` Построить сечение призмы плоскостью `MNK`. Найти в каком отношении плоскость сечения делит объем призмы?

Мое решение.
1. Построил сечение. Проверьте, пожалуйста, правильно или нет?
2. А вот насчет объема не знаю вообще, что делать. Понятное дело, что можно ввести коэффициенты пропорциональности, и именно `AM=x, MA_1=3x`; `CN=5y, NC_1=2y`;`BK=z, BC=3z, KC=2z`. Но что с этим делать дальше?

Заранее спасибо за помощь!

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Стереометрия

Комментарии
2018-12-25 в 22:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
надо найти отношение `AF : FB`...
и как расположена точка `G` - точка пересечения `MN` и `KF`... и тоже отношение соответствующих отрезков вычислить...
тогда сможете сравнить объём призмы и отрезанной части с объёмом пирамиды `NCKG` ...

2018-12-25 в 23:16 

All_ex, Перерисовал рисунок. Вышло вот так:

Ничего особо толкового не приходит в голову насчет `AF:FB`. Можно использовать теорему Менелая, а именно `((KC)/(BK))*((FB)/(AF))*((AG)/(GC))=1` Известно только отношение `((KC)/(BK))=2/1`(из условия). Но `(AG)/(GC)` неизвестно.
Или есть другой способ?

2018-12-25 в 23:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но `(AG)/(GC)` неизвестно.
подобие треугольников `FAM` и `GC_1N`...

2018-12-25 в 23:36 

All_ex, наверное, треугольников `GAM` и `GCN` ?
Тогда выходит, что `(GM)/(GN)=(AG)/(GC)=(AM)/(CN)`, `(AG)/(GC)=x/(5y)`
Тогда, `(AF)/(FB)=(2x)/(5y)`
Верно?

2018-12-25 в 23:50 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
наверное, треугольников `GAM` и `GCN` ?
да, опечатался...

Тогда, `(AF)/(FB)=(2x)/(5y)`
Воспользуйтесь тем, что `A A_1 = C C_1`...

2018-12-26 в 00:11 

All_ex,
`7y=4x` => `y=(4x)/7`
Тогда выходит, что `(AF)/(FB)=10/7`?
Я так понимаю, что объем `NGKC` будет равен `(1/3)*h*S_(GKC)`, где `h=NC` - высота треугольной пирамиды. Но у нас по условию неизвестно, какая именно треугольная призма? Поэтому рассуждения по поводу высоты неправильные?

2018-12-26 в 03:08 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Но у нас по условию неизвестно, какая именно треугольная призма? Поэтому рассуждения по поводу высоты неправильные?
да, высота не равна ребру.... но отношение высот пирамиды и призмы равно отношению `CN` и `CC_1`... для нахождения отношения объёмов этого вполне достаточно...

2018-12-26 в 15:52 

All_ex, С высотами понял, там образуются подобные треугольники, поэтому и будет отношение высоты призмы и пирамиды. Вот что делал дальше:
`(h_1)/(h_2)=(NC)/(C C_1)=5/7` , `(h_3)/(h_4)=(AM)/(A A_1)=1/4` Но так как `A A_1=C C_1`, то `h_4 = h_2`
1. `V_(NGKC)=1/3*S_(GKC)*h_2`,
`V_(MGAF)=1/3*S_(GAF)*h_3`,
Тогда, объем первого многогранника внутри призмы (обозначим `V_1`) учитывая, что `h_1=5/7*h_2` и `h_3 = 1/4*h_2`будет равен
`V_1 = 1/3*(S_(GKC)*h_1 - S_(GAF)*h_3) = 1/3*(S_(GKC)*5/7*h_2 - S_(GAF)*1/4*h_2) `
Но как найти получившиеся площади треугольников? Или их соотношения? Немного запутался...

2018-12-26 в 16:07 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Вам сами площади не нужны... А нужны отношения площадей и высот, чтобы найти отношение объёмов...

2018-12-26 в 16:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ищите теперь отношение объёма пирамиды к объёму призмы...

2018-12-26 в 16:40 

All_ex, Выходит, то отношение объема пирамиды к объему призмы будет равно:
`V_(p i r a m i d)/V_(p r i z m a)=(5*S_(GCK))/(21*S_(ABC))` Отсюда можно выразить площадь `GCK`. А как тогда выразить `GAF`- основание маленькой пирамиды `MGAF`, ведь большая пирамида `NGKC` и маленькая `MGFA` не подобны?

2018-12-26 в 18:57 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ведь большая пирамида `NGKC` и маленькая `MGFA` не подобны?
есть школьное утверждение об объёмах таких фигур... но чтобы уловить его суть, рассмотрите такую последовательность пирамид: `GKCN -> GKCM -> GKAM -> GFAM`, и выразите объём каждой через предыдущую... а потом посмотрите на отношение объёмов крайних пирамид...

`V_(p i r a m i d)/V_(p r i z m a)=(5*S_(GCK))/(21*S_(ABC))` Отсюда можно выразить площадь `GCK`
зачем?... Вам надо найти число `V_{pir} : V_{pris}` ... затем число `V_{pir} : V_{piece}` ... и из этих отношений найти `V_{pris} : V_{piece}` ...

2018-12-26 в 21:38 

All_ex, попробовал выразить объемы пирамид. Вот что вышло:
1. `V_(GKCN)=1/3*S_(GKC)*h_1` => `1/3*S(GKC)=(V_(GKCN))/(h_1)`
2. `V_(GKCM)=1/3*S_(GKC)*h_3` => `V_(GKCM)=(V_(GKCN)*h_3)/h_1` = > `h_3=(V_(EKCM)*h_1)/(V_(GKCN))`
3. `V_(GKAM)=1/3*S_(GAK)*h_3` => `V_(GKAM)=1/3*S_(GAK)*(V_(EKCM)*h_1)/(V_(GKCN))`
4. `V_(GFAM)=1/3*S_(GAF)*h_3`=> `V_(GFAM)=1/3*S_(GAF)*(V_(EKCM)*h_1)/(V_(GKCN))`
Тогда, отношение объемов первой и последней пирамиды будет равно:
`V_(GKCN)/V_(GFAM)=(S_(GKC)*V_(GKCN))/(S_(GAF)*V_(GKCM))`
Прикреплю немного другой рисунок с обозначением высот:

Что-то здесь не так. Где я ошибся?

2018-12-26 в 22:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Sunline1990, видимо я как-то сложно намекаю... :alles:

`V_{GKCN} : V_{GKCN} = h_1 : h_3 = GM : GN` ... и так далее ...

2018-12-26 в 22:51 

All_ex, `V_(GKCM):V_(GKCN)=GM:GN` - это я понял (следует из подобия треугольников `GAM` и `GCN`)
Но когда выражаешь другие объемы, то все равно везде фигурируют площади треугольников `GAK` и `GAF`. не понимаю, как от них избавиться.

2018-12-26 в 22:57 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Sunline1990, все соседние пирамиды имеют общую грань, которую и удобно рассматривать как основание...
а высоты, опущенные на эту грань, пропорциональны отношению соответствующих рёбер...

2018-12-26 в 23:38 

All_ex, увидел общую грань `GAM` в пирамидах `GKMA` и `GFAM`.
Тогда выходит, что `V_(GKAM):V_(GFAM)=KG:FG`
Выражаем, получаем
`V_(GKCN):V_(GFAM)=((GN)*(KG)*(V_(GKCM)))/((GM)*(FG)*(V_(GKAM)))`
`V_(GKCM):V_(GKAM)=CM:AM`
Тогда, `V_(GKCN):V_(GFAM)=((GN)*(KG)*(CM))/((GM)*(FG)*(AM)) `
Верно?
Сейчас попробую найти остальные стороны

2018-12-26 в 23:48 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Тогда, `V_(GKCN):V_(GFAM)=((GN)*(KG)*(CM))/((GM)*(FG)*(AM))` Верно?
Почему последнее отношение `{CM}/{AM}`?... там же должно быть `{GC}/{GA}`...

2018-12-27 в 00:02 

All_ex, Точно, у них же грань `GMK` общая. Тогда выходит, что
`V_(GKCN):V_(GFAM)=(GN*KG*GC)/(GM*FG*GA)=(400/49)*((KG)/(FG))`
Откуда теперь найти отношение`(KG)/(FG)`? только если через площади треугольников `GMF` и `GMK`, но это ничего не даст, по-моему. Вроде, никаких подобных треугольников больше нет, опирающихся на эти стороны...

2018-12-27 в 00:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Откуда теперь найти отношение`(KG)/(FG)`?
Используйте теорему Менелая...

2018-12-27 в 00:23 

All_ex, Я её уже использовал, чтобы найти `AF:FB`
Формула выглядела вот так:
`(CK*BF*AG)/(BK*AF*GC)=1` Или есть другая теорема, которая затрагивает и отношение `(KG)/(FG)`?

2018-12-27 в 00:28 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Есть другой треугольник... а теорема та же самая... `{KF}/{FG} * {GA}/{AC} * {CB}/{BK} = 1`...

2018-12-27 в 00:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Что-то не то я написал в предыдущем комментарии... исправил его...

2018-12-27 в 00:41 

All_ex, All_ex, Похоже, увидел. Треугольник `KGC`.
Тогда выходит, что
`(AC*FG*BK)/(AG*KF*BC)=1`

2018-12-27 в 00:43 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
:yes:

2018-12-27 в 00:55 

All_ex, Ага, теперь увидел, что Вы немного раньше написали)
Тогда выражаем `AC=GC-AG`и выходит, что
`(AC)/(AG) = (GC)/(AG)-1 = 20/7-1=13/7`
Значит, `V_(GKCN):V_(GFAM)=(400/49)*(13/7)=5200/343`
Верно?

2018-12-27 в 01:05 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Верно?
нет... почему там `{AC}/{AG}` , если должно быть `{GC}/{GA}`...

2018-12-27 в 01:06 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хм... причём об этом я уже писал выше... :upset:

2018-12-27 в 01:10 

All_ex, Не понимаю, у нас ведь есть одно из отношений `(AC)/(AG)` по формуле Менелая. Откуда там `(CG)/(GA)`?

2018-12-27 в 01:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Я писал не про теорему Менелая, а про отношение объёмов...
`V_{GKCN} : V_{GFAM} = {GN}/{GM} * {GK}/{GF} * {GC}/{GA}` - должно было так получиться...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная