Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
14:20 

В натуральных числах

FirstAID
Пратусевич С6 ЕГЭ
Помогите решить уравнения в натуральных числах
1 )[[TZ]] Решить в натуральных числах ` 1/x+1/y=1/239 ` [[/TZ]] даже не знаю с чего начать
2) [[TZ]] Решить в натуральных числах ` 2^x+3^x+4^x=y^2 ` [[/TZ]]
` x ` - чётное ` x=2k `
` 4^k+4^(2k)=(y-3^k)(y+3^k) `
`4^k(1+4^k)=(y-3^k)(y+3^k) => (y-3^k)(y+3^k) ` делится нацело на 4 , и на 9 или на 5( т.к ` (1+4^k) ` делится нацело на 9 или на 5)
Дальше не знаю как решать

@темы: Теория чисел, ЕГЭ

Комментарии
2011-02-24 в 16:01 

Белый и пушистый (иногда)
1. Уравнение `1/x+1/y=1/a`. Оно приводится к виду `(x-a)(y-a)=a^2`. Далее рассматриваются случаи.

2011-02-24 в 16:02 

пРимер 1.9 на стр. 9 - общий метод решения задания 1

URL
2011-02-24 в 16:13 

FirstAID
VEk Решил
Тут х или у не могут равняться 239 , а в ответе `(239;239*240) ( 478;478) (239*240;239) `
а у меня получилось `(240 ;239*240) ( 478;478) (239*240;240) `

2011-02-24 в 16:15 

Белый и пушистый (иногда)
№2. Решение очевидно: (1;3). Пусть `x > 1`. Рассмотрите остатки от деления левой части уравнения от деления на 3, получите, что x - нечетно. Рассмотрите остатки той же левой части от деления на 8, получите, что x - четно и больше 2. Противоречие.

2011-02-24 в 16:19 

FirstAID
VEk Наверное вы имели ввиду решение (1;3)

2011-02-24 в 16:21 

Белый и пушистый (иногда)
minasyanvaagn У Вас правильно получилось (№1).

2011-02-24 в 16:21 

Белый и пушистый (иногда)
Конечно! Опечатка. Исправлю.

2011-02-24 в 16:26 

FirstAID
VEk а как Вы узнали , что нужно рассмотреть остатки от деления на 8 ?

2011-02-24 в 16:31 

Белый и пушистый (иногда)
minasyanvaagn Квадрат нечетного числа сравним с 1 по модулю 8ю ( Из серии - "Это полезно знать")

2011-02-24 в 17:15 

FirstAID
Я что-то не понимаю . Как узнать остаток от деления на 8 левой части ? И даже если мы это узнаем , то почему х - чётное ?

2011-02-24 в 17:29 

Белый и пушистый (иногда)
`2^x`начиная с `x=3` дает остаток 0, `4^x` начиная с `x=2` дает остаток 0, `3^x` дает остаток 1 или 3 (1 при четных x). Поэтому начиная с x=3 при всех четных `x` остаток левой части уравнения от деления на 8 будет равен 1, а при нечетных `x` - равен 3. Так как (очевидно) y - нечетно, то остаток правой части уравнения от деления на 8 всегда равен 1.

2011-02-24 в 17:44 

FirstAID
VEk Спасибо

2011-02-25 в 09:48 

FirstAID
А почему ` y ` нечётно ?

2011-02-25 в 10:28 

FirstAID
Понял почему . y^2 может давать остатки при делении на 8 : 0 1 4 . А левая часть 1 0 3 => подходит общий остаток 1 => левая и правая часть не четны . Так ?

2011-02-25 в 10:37 

FirstAID
Но тогда при делении на 3 и на 8 нет противоречия .

2011-02-25 в 13:35 

Белый и пушистый (иногда)
О четности `y`. Левая часть уравнения - сумма двух четных и одного нечетного числа, т.е. нечетна. Значит и правая часть также нечетна.
остатки от деления на 8 мы с Вами разобрали. получили, что x=четно.
Теперь остатки от деления на 3 ( `x >= 1`). `3^x` делится на 3. Выпишите рядом два столбика - степени двойки и четверки и посчитайте остаток их суммы при делении на 3, получится `0` при нечетном `x`, и `2` при четном `x`. В правой части уравнения стоит `y^2`, поэтому остаток от деления правой части на 3 будет либо 0, либо 1 (это надо доказать). очевидно, что остатки совпадают тогда и только тогда, когда он равны 0. Вывод - `x` нечетно.

2011-03-17 в 21:54 

FirstAID
А что там за TZ появилось ? Может это команда ? [[TZ]]

2011-03-17 в 21:55 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Не обращайте внимания, это служебное

2011-03-17 в 21:59 

FirstAID
ок )

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная