• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: теория множеств (список заголовков)
00:22 

Правильные тветы

Фабий
Я так их по-разному перемешивал и редактировал, так что теперь они идут вразнобой. Чтобы не затягивать, выложу как есть, иначе редактирования пришлось бы ждать до вечера.
Это, конечно, пока всё предварительно, сами понимаете: скандалы, расследования, формы ответов... :rolleyes:
Ну а сейчас выдыхаем и читаем авторские ответы с комментариями.
Я поздравляю вас с окончанием третьего турнира по математическому ЧГК в сообществе «Поп-математика для взрослых детей» :)

читать дальше

@темы: Бесконечность, Вопросы, Головоломки и занимательные задачи, Люди, Парадоксы, Теория множеств, Что? Где? Когда?

10:20 

takigiro
Бросил на миг обмолачивать рис крестьянин, глядит на луну (с).
Ранее неоднократно поднималась тема деления на ноля на ноль, возведения ноля в нулевую степень, и часто появлялось понятие неопределенность.
Но что это за зверь такой, не разъяснялось.
Интересно, а что означает непоределенность с позиции теории множеств, есть ли у нее свойства, признаки и т.д.?

@темы: Теория множеств, Бесконечность

20:09 

Возможно ли разрешение?

Подскажите пожалуйста, правильно ли я понимаю проблему?

Есть два конечных множества. Это А и В. Мощность А = 5, а мощность В = 6.

Теперь берём 5 красных шариков и пронумеруем их натуральными числами начиная с 1. Это наше множество А.
Далее, берём 6 зелёных шариков и пронумеруем их натуральными числами начиная с 1. Это наше множество В.

Выкладываем шарики в один ряд. Вначале красные а потом зелёные.

Нумеруем все шарики независимо от цвета, и это будет множество С, с мощностью 11.

Множество С, состоит из 2-х подмножеств А и В. Каждое подмножество мы можем пронумеровать отдельно, независимо от общей нумерации множества С.

Далее, добавляем по 2 красных и по 2 зелёных шарика, и размещаем их в своём подмножестве. А и В увеличивается на 2 --А=7, В=8. Но общее с уже равно С=15.

И так далее.Бесконечно далее.

Мы видим, что можем образовать бесконечное множество С. Но где тогда будет граница между подмножествами А и В? Множество С счётно.

Моё мнение: Исходя из аксиом говорящих о том что два счётных множества вместе образуют только одно счётное множество, и то что натуральный ряд чисел един, то мы не можем 2 и более счётных множества, расположить друг за другом. Можно, но только в переплетении, как переплетены чётные и не чётные
натуральные числа.

И поэтому такой подход не корректен и не имеет разрешения. Корректно, когда красные шарики и зелёные располагать перемешивая. Красный-зелёный-красный-зелёный--и так бесконечно далее.

Правильно ли я сделал заключение, и если правильно, то как кратко эту сформулировать?

Спасибо, и прошу прощения за неуклюжесть изложения.

@темы: Теория множеств

18:53 

Здравствуйте

А синуса график, волна за волной, по оси абсцисс убегает...
Здравствуйте, многоуважаемые участники сообщества Ogranon / Поп-математика для взрослых детей, в котором находится множество интересных математическим тем
Я уже достаточно хорошо знаком с вашим сообщество, поскольку неоднократно читал его в режиме гостя, и особое внимание обращал на разбор вопросов по теории множеств, в частности о счетностях/несчетностях и некототорых доказательств
И вот сейчас мне бы хотелось принять участие в некоторой дискуссии, связанной с теорией множеств У меня имеется небольшой дневник на блоках Яндекса, в котором рассматриваются некоторые вопросы из данной темы Однако пока я здесь человек новый, то внешнюю ссылку давать не буду дабы не заподозрили в рекламе, но со временем перепишу посты оттуда сюда
С уважением Math-simple

PS Исправил указанное название сообщества, которое было по ошибке перепутано с никнеймом его администраторп

@темы: Теория множеств

21:56 

somehow I always mess things up
Прежде всего хочу выразить владелице сообщества искреннюю признательность за ее заметки по теории множеств. Более внятного и интересного изложения этой темы мне не встречалось еще нигде в популярной литературе.
А теперь вопрос.
Здесь, в частности, Amicus Plato пишет:

Следом за א0 идет א1 — мощность континуума. (...) Но есть и следующие алефы, и число их бесконечно.

Означает ли это, что существуют множества, имеющие большую мощность, чем мощность континуума? И, если да, то каковы примеры таких множеств? То есть, если алеф-нуль - кардинальное число множества натуральных чисел, алеф-один - множества действительных чисел, то, верно ли я понимаю, что существуют какие-то алеф-два и т.п., которые соответствуют, в свою очередь, другим множествам? Это ли имеется в виду, когда говорят о лестнице алефов?
Прошу прощения за корявое изложение вопроса - я не математик))) И за возможную его банальность, но интернет на эту тему молчит.

@темы: Amicus Plato, Вопросы, Теория множеств

15:05 

+++ Парадокс Рассела, Redux +++

inquisitor
Рыцарь со страхом и упрёком. // NULLA DIES SINE DIEI IRAE // N'Ayez pas peur de soufrir le futur nous attend. // Утка подгорает!
Парадокс Рассела
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?
Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие.
Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.


На мой взгляд, здесь проблема не в термине "множество множеств", а в кванторе всеобщности "всех". Если количество множеств рекурсивно неисчислимо, то невозможно постоить K. Да и оператор принадлежности должен быть разный для множеств разной мощности...

Также возникают вопросы относительно направления действия самого оператора принадлежности:
xi ∈ {x1,x2,...,xi-1,xi,xi+1,...}; означает «x принадлежит множеству»

{x1,x2,...,xi-1,xi,xi+1,...} э x; означает «множество содержит

Это по сути разные операторы, поскольку тип аргументов у них разный...

Можно сконструировать теорию, в которой множество может содержать элементы, не принадлежащие ему, а также элемент может принадлежать множеству, не содержащему его...

@темы: Вопросы, Парадоксы, Теория множеств

15:23 

Amicus Plato
Простыми словами
На самом деле всё никак не продолжу писать "Пролегомены к парадоксу Банаха-Тарского".
К аксиоме выбора подбираюсь очень медленно, и, боюсь, все уже вообще про это забыли.
Нашла сегодня замечательные тексты в тему.
Не могу не поделиться!
www.elhe.ru/~dekanat/Matematika/Gim_mat1.htm
www.elhe.ru/~dekanat/Matematika/Gim_mat2.htm
www.elhe.ru/~dekanat/Matematika/Bark_komm.htm

@темы: Amicus Plato, Интересные ссылки, Теория множеств

18:29 

Аксиоматика теории множеств VI.

Amicus Plato
Простыми словами
Никак не дойду до аксиом...
Никто, небось, уже и не помнит, что цель была разобрать аксиому выбора, чтобы потом можно было плавно перейти к доказательству парадокса Банаха-Тарского :)
Боюсь, впереди у нас еще долгая дорога.)
Тем более, что почти ни одна запись не остается без критики)))
Что я могу поделать? Видимо, это планида теории множеств :)
читать дальше

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

22:14 

Аксиоматика теории множеств V.

Amicus Plato
Простыми словами
Начинаю описывать систему Z (Цермело-Френкеля).
В этой системе, как воспоследовало из определения равенства в прошлой записи, имеется лишь один неопределяемый предикат «∈».
Все ее атомарные предложения будут иметь вид: х ∈ у. Отношение "не принадлежит" будем записывать так: х ∉ у.

И теперь сразу с места в карьер.

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

09:45 

Аксиоматика теории множеств IV. Отношение равенства

Amicus Plato
Простыми словами
14:37 

Аксиоматика теории множеств III. Отношение равенства

Amicus Plato
Простыми словами
Оооо!
Я, например, открыла для себя много нового.

Отношение равенства

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

15:14 

Аксиоматика теории множеств II

Amicus Plato
Простыми словами
Давайте разбираться с вопросами, поставленными в прошлой записи.

Разбираемся по пунктам

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

22:36 

Аксиоматика теории множеств

Amicus Plato
Простыми словами
Для того, чтобы разобраться в доказательстве парадокса Банаха-Тарского, или хотя бы просто посмотреть, на чем оно строится, нужно понять, что же представляет собой аксиома выбора.
Можно было бы просто сформулировать ее, но всё же я считаю, что надо немножко расширить контекст. Аксиома выбора — это хоть и стоящая особняком, но всё же часть целостной системы. Системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).
Предварительные соображения )

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

22:35 

Парадокс Банаха-Тарского II

Amicus Plato
Простыми словами
Парадокс об удвоении шара еще называют парадоксом Банаха-Тарского-Хаусдорфа, потому что существует менее известный и более ранний парадокс Хаусдорфа, который похож на парадокс удвоения шара и имеет тот же принцип доказательства.
В самом деле, почему речь идёт не о "развенчании", как это было раньше с другими парадоксами, а о доказательстве?
Почему?

Подтверждение

@темы: Анти-бесконечность, Парадоксы, Поп-математика, Теория множеств, Amicus Plato

17:51 

Парадокс Банаха-Тарского

Amicus Plato
Простыми словами
Продолжаю тему парадоксов.
На этот раз, похоже, опять не удастся обойтись одной записью.
Речь пойдет о парадоксе Банаха-Тарского. К нему я подбираюсь уже довольно давно.
читать дальше

@темы: Amicus Plato, Парадоксы, Поп-математика, Теория множеств

20:32 

Ординалы и кардиналы. Замечание

Amicus Plato
Простыми словами
Еще чуть-чуть того же самого другими словами.
Каким образом можно провести различие между ординальными числами ω и ω+1?
Сами элементы множеств с такими ординалами могут быть одинаковыми (а могут и нет)! Важно лишь то, каким образом мы задаем отношение порядка!

Например, множество натуральных чисел в "обычном виде": {1, 2, 3, ...} имеет ординальное число ω, представляющее всю последовательность натуральных чисел в её обычном порядке.
Также ординальное число ω имеют множества:
{10, 20, 30, ...}
{100, 200, 300, ...}
{1, 2, 4, 8, 16, ...}
...
Однако множество всех натуральных чисел в перестроенной последовательности {2, 3, 4, ..., 1} или же множество чисел в последовательности {20, 30, 40, ..., 10} имеет ординальное число ω+1.
И не обязательно первое число переставлять назад. Это можно сделать с абсолютно любым элементом множества:
{100, 200, 400, ... 300}
{1, 2, 4, 8, 16, ..., 32}
также имеют ординальное число ω+1.

Другими словами, значение кардинального числа зависит от задания порядка на множестве, а если неформально: от размещения бесконечно длинных пробелов, помеченных многоточием.

0) Если многоточие стоит в самом конце, то ординальным числом бесконечного множества будет ω.
1) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится одно число, то ординальным числом новой последовательности будет ω+1.
2) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится два числа (например {3, 4, 5, ..., 1, 2}), то ординальным числом новой последовательности будет ω+2.
...
ω) Множество {1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...} имеет два бесконечных пробела, поэтому его ординальное число равно ω+ω или 2ω.
И т.д.
Таким образом, сколько бесконечных пробелов, столько и омег в нашем ординале!

Важно, что все эти множества имеют одно и то же число элементов. То есть между любыми двумя из вышеперечисленных множеств, а также между каждым из этих множеств и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.
Только оно не будет изоморфизмом, потому что порядок при таком соответствии не сохраняется.
Поэтому кардинальные числа всех этих множеств одинаковы, хотя их ординальные числа различны.

@темы: Теория множеств, Бесконечность, Amicus Plato

20:07 

Ординалы и кардиналы III

Amicus Plato
Простыми словами
Выстроим цепочку ординальных чисел:
0 → ∅ (пустое множество)
1 → {1}
2 → {1, 2}
3 → {1, 2, 3}
4 → {1, 2, 3, 4}
5 → {1, 2, 3, 4, 5}
6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6}
...
Можем ли мы построить такое число, которое соответствовало бы множеству всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}?
Наибольшего ординального числа, ассоциированного с последовательностью конечных множеств просто не существует, как не существует и наибольшего натурального числа.
Но так же, как мы вводим понятие бесконечности: ∞, мы определим новое, трансфинитное ординальное число ω (омега) как первое число, следующее за всей последовательностью ординальных чисел чисел 1, 2, 3, ... .

ω → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Омега является порядковым типом множества всех натуральных чисел.

А теперь сделаем вот такой хитрый ход...

@темы: Теория множеств, Бесконечность, Amicus Plato

17:43 

Ординалы и кардиналы II

Amicus Plato
Простыми словами
Итак, с вполне упорядоченными множествами мы разобрались.
Я всё-так расскажу, что такое ординальные числа, сперва на примере конечных множеств.

Помните пример с овцами? Чтобы пронумеровать шесть овец, нужно установить взаимнооднозначное соответствие между каждой овцой и одним из чисел от 1 до 6.
Я писала об этом здесь.
Упорядочим это множество по номерам:

овца1 < овца2 < овца3 < овца4 < овца5 < овца6

Как только мы хоть каким-нибудь образом установим однозначное соответствие каждого из шести элементов любого шестиэлементного множества с натуральным числом от 1 до 6, мы создадим на этом множестве полный порядок! И оно тут же станет изоморфным множеству наших овец, а также множеству {1, 2, 3, 4, 5, 6} с отношением «<».
Ординальное число 6 служит абстракцией всех вот таких вот вполне упорядоченных шестиэлементных множеств.

Ординальное число 6 (как вроде бы интуитивно понятно) следует за ординальным числом 5 (соответствующим всем изоморфным друг другу вполне упорядоченным пятиэлементным множествам).
А за ординальным числом 6 идет ординальное число 7.

В примере с нашими овцами ординальное число 6 совпадает с кардинальным, т.е. с мощностью этого множества.
Однако вот это вот утверждение верно только для конечных множеств!

Георг Кантор показал, что можно построить бесконечное число бесконечных множеств, имеющих разные ординальные числа, но одно и то же кардинальное число.
Вскоре и мы это покажем!

Вот, что я вычитала в одной статье:
Фактически Кантор позднее сумел превратить это свойство бесконечных множеств в критерий отличия их от конечных множеств: множество конечно, если его кардинальное и ординальное числа совпадают.
С бесконечными множествами сейчас разберемся отдельно!

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

22:11 

Ординалы и кардиналы I

Amicus Plato
Простыми словами
Начну сейчас писать про ординальные числа.

Сначала подведу некоторый итог нашим знаниям о числах кардинальных. Что мы о них знаем? Для обозначения мощности (то есть "количества элементов") бесконечных множеств Георг Кантор ввел так называемые трансфинитные числа.
Обозначение этих кардинальных чисел, которым мы пользуемся по сей день, придумал сам Кантор. Он обозначал их в виде буквы א (алеф) — первой буквы еврейского алфавита.
Как я уже говорила раньше, мощность счётного множества равна א0.
Везде где алефы с индексами, сперва идет алеф, а за ним 0 или 1 (т.е. алеф0, алеф1). Просто этот алфавит хочет писаться только справа налево((( Замучилась, но не могу исправить ))))
Множества N (натуральных чисел), Z (целых чисел) и даже Q (рациональных чисел, — чисел, которые можно представить в виде обыкновенных дробей) являются счетными.
Следом за א0 идет א1 — мощность континуума. Это мощность множества действительных чисел (рациональных+иррациональных), а также мощность любого отрезка действительной оси.
Как было показано, множество точек плоскости (хотя на вид ГОРАЗДО больше, чем множество точек прямой) тоже имеет мощность א1.
Но есть и следующие алефы, и число их бесконечно.

Однако исторически сложилось так, что первыми трансфинитными числами стали не кардинальные, а ординальные числа.

Чтобы ввести определение ординального числа, нужно сначала разобраться, что такое вполне упорядоченное множество.

Вполне упорядоченное множество — это множество, на котором:
1) задано отношение порядка, причем
2) этот порядок линеен, и кроме того,
3) в этом множестве есть наименьший элемент.

Объясняю всё по порядку (простите за каламбур).
1) Отношение порядка — это с формальной точки зрения такое отношение, которое позволяет:
а) сравнить каждый элемент множества с самим собой (свойство рефлексивности);
б) утверждать, что если порядок таков, что элемент а предшествует b, а b предшествует с, то а тем более предшествует с (свойство транзитивности);
в) утверждать, что два условия:
1) элемент а предшествует b и 2) элемент b предшествует а
выполняются одновременно тогда и только тогда, когда а=b (свойство антисимметричности).
То есть отношение порядка это и есть "порядок" )))
Если выстроить всех людей по росту — это будет отношением порядка.

2) линейный порядок означает, что любые два элемента множества сравнимы: для любых а и b: либо а предшествует b либо b предшествует а! Не может быть такого, что мы не знаем как их соотнести! То есть если мы строим людей по росту, нам ни в коем случае нельзя, чтобы каких-то двух и более человек мы не могли бы расставить! Т.е. сказать: ваш рост равен, внутри вашей группы становитесь, как хотите! Нет! Будем измерять их с точностью до микронов, но расставим строго одного за другим и не позволим меняться местами!

3) существование наименьшего элемента. Ну, с людьми как раз всё просто. Человек с наименьшим ростом имеется по определению. А вот с другими множествами — не факт. Множество целых чисел казалось бы прекрасно упорядочено: для каждой пары чисел можно сказать какое больше, а какое меньше! Но оно не является вполне упорядоченным, потому что не имеет наименьшего элемента!

Зато прекрасный образчик вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел.

И вот теперь перехожу к финальной части: оказывается, для каждого вполне упорядоченного (не более чем счетного) множества существует изоморфизм (вспомните кросспост Trotil'а) в множество натуральных чисел.
В нашем случае изоморфизм — это взаимно однозначное отображение, сохраняющее линейный порядок.
В примере с людьми это означает, что людей, выстроенных по росту, можно пронумеровать. Первым будет наименьший человек, за ним второй, и т.д....
Но людей хоть и много, однако их число всё равно конечно.
Для любого вполне упорядоченного бесконечного множества точно так же имеется нумерация элементов, соответствующая заданному отношению полного порядка!
Всё это может скучновато и просто... Однако дальше начнется самое интересное! )))

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Теория множеств

17:01 

Amicus Plato
Простыми словами
Собираюсь продолжить с теорией множеств и написать про ординальные числа.
Но сперва хочу напомнить про числа кардинальные, потому что понятия эти довольно тесно связаны.
Про них так зачастую и пишут вместе: кардиналы и ординалы.
Кардинальное число — это обобщенное понятие "количества элементов множества".
Для любого конечного множества это и есть количество элементов.
А вот бесконечные множества тоже не все "одинаково велики". Есть более и менее "плотные" бесконечности.
Об этом я уже писала. Поэтому просто хочу напомнить.
Вот несколько "предварительных сведений" из записей сообщества.
0) Натуральные числа
1) Четные и нечетные числа
2) Мощность множества натуральных чисел
и, наконец, с этим же самым мы столкнулись совсем недавно в связи с задачей про Деда Мороза:
Мощность множества
В этой записи (как неожиданно оказалось) обобщены все предыдущие.

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

Поп-математика для взрослых детей

главная